"Il tracciato regolatore non introduce  idee poetiche o liriche; non ispira in alcun modo il tema; non è creatore; è equilibratore." 
      (Le Corbusier)

LE PROPORZIONI: UN’ INTRODUZIONE.*
(Dispensa  per la lezione del 22/01/2004)

 La sezione aurea custodisce qualche mistero? La radice di due può rivelarci ancora qualcosa? Per quanto possibile, e nei limiti di questo scritto, cercherò di formulare qualche risposta a queste domande  sperando, nel frattempo, di farne nascere altre.

 La filosofia, l’arte del costruire e il senso comune hanno contribuito a dotare il termine di proporzione di una certa polisemia.  Non sarà inutile quindi convergere su alcuni significati, in modo da evitare equivoci . Queste definizioni sono necessarie, oltre che per chiarezza di esposizione, anche per una migliore contestualizzazione, poiché il termine ha assunto, nel corso dei secoli, ora un significato ora un altro. In architettura possiamo parlare legittimamente di:

a) Proporzione come rapporto tra misure semplici (1, 2, 3, 4)
b) Proporzione come uguaglianza di due rapporti 3:4=6:8
c) Proporzione come serie numerica
d) Proporzione come tracciato regolatore
e) Proporzione come tracciato costruttore
f) Proporzione come modulo-oggetto: il piede, la rata pars.

a) Proporzione come rapporto tra misure semplici (1, 2, 3, 4)
Il primo significato che si riconosce alle proporzioni è quello pitagorico, e cioè quello dell’armonia musicale dell’Universo, ma probabilmente il significato matematico di proporzione fu elaborato, prima che dai Greci, dagli Assiri e dagli Egizi. E’ evidente che alla base delle loro costruzioni vi sia una profonda intelligenza di tipo numerico e geometrico. (Tra l'altro, e così fissiamo subito un concetto fondamentale, matematica e geometria saranno di fatto sinonimi fino alla modernità. Tra le due non si dà nessuna distinzione finché fa ancora parte delle conoscenze tecniche il calcolare attraverso la geometria, e cioè fino all'arrivo dei calcolatori). Non solo le piramidi, ma anche le loro rappresentazioni ne sono una prova; il corpo umano viene raffigurato in una griglia quadrata di vari moduli (18, 21 e 1/4 o 22 che siano): il “Canone”. E viene ‘costruito’ con questi. [fig. ] Una volta stabilito il formato della statua, gli artisti potevano dividersi il lavoro e ricomporlo ad operazione finita: è fin troppo famoso l’aneddoto degli scultori Teleghes e Teodoros per citarlo ancora una volta.

Ma torniamo a Pitagora. E' noto che viene attribuita a lui la scoperta dei rapporti matematici che regolano i suoni. Pitagora riuscì cioè a legare tra di loro l'aritmetica e la musica attraverso il numero. Fu una grandissima scoperta, destinata ad accompagnare il pensiero occidentale per diversi secoli . Il fascino esercitato da questi rapporti semplici (1:2 1:3 1:4 2:3 3:4) fu enorme. Pitagora attribuiva inoltre un valore mistico al numero 3, perché dotato di inizio, mezzo e fine. E' da notare ancora che i Greci erano capaci di fare una costruzione geometrica che dava luogo a tre segmenti le cui lunghezze erano equivalenti alle corde che oggi chiameremmo "do", "mi", "la" (Bodei, 1995) . Era così possibile tradurre l’intelligibile nel dominio del sensibile.
Da quest'armonia (che in principio era l'intervallo tra i suoni e non la consonanza degli accordi), passare alla simmetria delle arti plastiche il passo fu breve. Tuttavia, sia l'armonia che la simmetria presuppongono la commensurabilità, ovvero il rapporto tra le parti non deve dare luogo a residui: deve essere preciso.
Platone arrivò, nel Timeo, a dare ai numeri 1, 2, 3, una valenza "sacra", schematizzandoli in una sorta di piramide, chiamata poi lambda (perché simile al carattere greco). Eccola:

1
2   3
4         9
8             27

E' basata sui quadrati e sui cubi dei numeri 1, 2 e 3. Infatti, 2 elevato al quadrato dà 4, ed elevato al cubo dà 8. Lo stesso discorso vale per il numero 3: 3 al quadrato dà 9, e 3 al cubo dà 27.
Ancora, veniva riconosciuto come sacro (o comunque magico), il triangolo di lati 3,4,5. Oltre alla semplicità della serie dei suoi lati, la sua area è uguale a 6. Lo troveremo ancora nella sezione dedicata ai tracciati “costruttori”.

b) Proporzione come uguaglianza di due rapporti 3:4=6:8
Il secondo senso costituisce già un piccolo slittamento rispetto al punto precedente. Infatti il primo si limita a verificare e godere di un rapporto semplice tra due entità. Ma in senso proprio, la proporzione è analoghia (Aristotele): l’uguaglianza di due rapporti, e quindi presuppone almeno 3 entità diverse, se non 4.
Tuttavia questo concetto di proporzione rimane molto legato alla sua correttezza matematica. In architettura, vedremo che furono solo due (probabilmente), gli architetti in grado di comporre secondo questo procedimento: Alberti e Palladio. Con una differenza importante, poi: che Palladio rinuncia anche alla consonanza dei rapporti semplici, per arrivare a dei rapporti poco musicali, come 5:12, 28:43, ecc. Il che si spiega, almeno parzialmente, con il fatto che Palladio usasse rapporti musicali e che la teoria musicale all’epoca aveva accettato come armonici alcuni rapporti prima non tollerati.

c) Proporzione come serie numerica: Alberti e la serie di Fibonacci
Il terzo è costituito dalle serie numeriche. Una serie numerica è una lista di numeri la cui ragione (in senso matematico), è facilmente individuabile: 1, 3, 7, 15 … La ragione è il rapporto tra due termini adiacenti. Le serie numeriche sono infinite (non sono un matematico, ma l’intuito mi dice che non sono facilmente limitabili) e ne esistono tantissime di famose. La più conosciuta è probabilmente la serie detta del Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 … La ragione tende a 1,618: Ø, il Numero d’Oro.
Il rapporto tra due grandezze che porta al numero 1.618… è stato definito da Pacioli De Divina Proportione. Esso sembra in effetti riunire in sé tante proprietà (il solo Pacioli ne conta 13 nel suo testo.) e matematicamente è in effetti una sorta di numero magico . Il problema della Sezione Aurea è stato posto per la prima volta da Euclide in più passi dei suoi Elementi, definendolo media ed estrema ragione di un segmento. Ovviamente la sua formulazione numerica ha una corrispondenza geometrica che vedremo nella sezione dedicata ai tracciati regolatori.
Esiste poi una serie prediletta da Leon Battista Alberti, che dà luogo ad una successione di numeri interi, e che si basa sull’alternanza di una sesquialtera con una sesquitertia (1/2 e 1/3).
Infatti, la sesquialtera (uno e un mezzo) è una serie numerica in cui il numero seguente è dato dalla somma del precedente con la metà dello stesso (4, 6, 9, 13.5...). La sesquitertia (uno e un terzo) è data dalla serie in cui un numero e il precedente differiscono per un terzo (9, 12, 16, 21.33...). Dalla combinazione di una sesquialtera e di una sesquitertia derivano le duple (2, 3, 4, 6, 8, 12, 16...), formate da numeri interi.

d) Proporzione come tracciato regolatore
Il quarto è quello riconducibile ai tracciati regolatori. I tracciati regolatori sono sistemi prettamente compositivi destinati ad ordinare, appunto, la composizione, sia di un’opera d’arte pittorica che di un’architettura. Rientrano in quest’accezione le griglie: penso in particolar modo allo sviluppo ad quadratum e ad triangulum. Vediamoli più da vicino.
Un primo tracciato regolatore che possiamo immaginare è costituito da una griglia di quadrati. Nel Medioevo veniva indicato con sviluppo ad quadratum. Può essere usato, ovviamente, sia in pianta che in alzato. [Fig. ]
Una piccola variazione permette di ottenere un quadrato inscritto in un altro, ruotandolo di 45°. Torneremo a parlare di questo procedimento nella sezione riservata alle proporzioni come sistema di misura.
Un altro tracciato è quello costituito dal cosiddetto sviluppo ad triangulum. E’ famosa l’immagine del tracciato ipotizzato per il Duomo di Milano. [Fig. ]
Ancora, due tracciati basati sul quadrato: √2 e Ø.

Fig. *** - Il quadrato e la sua diagonale.

Come si può vedere, il rettangolo è costruito a partire dal quadrato. Una volta costruito questo, i due lati del rettangolo sono in rapporto di 1: √2, che sembra essere uno rapporti più gradevoli all’occhio umano per un rettangolo.

Altra costruzione basata sul quadrato: Ø. L’abbiamo già incontrato sopra. E’ il famoso numero aureo.
I lati del quadrato e del rettangolo sono questa volta in rapporto di 1: 1.618.

e) Proporzione come tracciato costruttore
Il quinto significato è simile a quello precedente, ma attiene solo alla pratica costruttiva. E’ ovviamente quello più facilmente databile. Era necessario nell’antichità per dimensionare e posizionare alcuni elementi costruttivi. Penso per esempio al modo di dimensionare i piedritti degli archi fino alla scoperta e alla matematizzazione del nocciolo centrale d’inerzia. [Fig. ]
Ma torniamo al quadrato e ad una sua piccola variazione, che abbiamo già incontrato prima: il quadrato inscritto in un altro quadrato, come illustrato qui sotto.
Il quadrato inscritto ha una superficie pari alla metà di quello più grande. Sembra che tale procedimento fosse usato appunto come sistema di calcolo nell’antichità per ottenere un chiostro con un’area dimezzata rispetto ai corpi di fabbrica che lo delimitavano (Villard de Honnecourt).

Non solo questo triangolo ha i lati in successione naturale: 3, 4, 5, ma la sua area è uguale a 6. Inoltre l’angolo tra i cateti è retto. Viene usato ancora oggi, appunto, per tracciare un angolo retto sul terreno.

 

f) Proporzione come modulo-oggetto: il piede, la rata pars.
Il sesto è quello del modulo-quantità, la parte, il piede. L’opera intera deve essere “commodulata” (è Vitruvio a parlare) ad una “rata pars”, che possiamo far corrispondere al semidiametro della colonna all’imoscapo. La simmetrya vitruviana (stesso metro, stessa misura), è basata su questa commodularità.
Forse questa è la sede più opportuna per operare una distinzione tra symmetria ed euritmia. La prima indica una corrispondenza metrica, misurabile. La seconda attiene solo a rapporti qualitativi tra gli elementi (buon ritmo).
Nel tempo quest’accezione di modulo-oggetto è stata ripresa sia dagli architetti rinascimentali (pensiamo  per esempio a Brunelleschi ed al suo modulo, o a Milizia), sia da quelli più vicini a noi.
Il Modulor di Le Corbusier è allo stesso tempo un sistema di misura, un tracciato regolatore, un modulo.
Il termine deriva da "module" (modulo) e "section d'or" (sezione aurea).
E' un sistema di proporzionamento basato sull'uomo e sulle proprietà del rapporto aureo.
Il Modulor è fondato su due serie in ragione di Ø: quella rossa e quella blu. La dimensione di partenza per la rossa è 183 cm. mentre per la blu è di 226 cm. 183:1.618 = 113 e 226:2 = 113. Ecco che le due serie sono interrelate, poiché 113 è uguale a 70 + 43, i due termini successivi a 113. L'ombelico, a quota 113, può essere visto anche come il luogo dove si incontrano due serie: una che parte dai piedi e va crescendo verso l'alto; un'altra che parte dal braccio alzato e va decrescendo verso i piedi. I termini della serie blu si ottengono raddoppiando i corrispondenti della serie rossa. E questo al fine di ottenere una  varietà di misure. La serie blu collima infatti solo pochi punti: il braccio alzato, l'ombelico, il ginocchio e così via, sempre "in diminuendo". Occorreva introdurre più flessibilità e Le Corbusier l'ha fatto immettendo nel diagramma un'altra "elica" (una serie) che parte da un punto diverso, che quindi collima altri punti del corpo umano. 

 

 

 

 

Quando ci si accinge a studiare un’opera sotto il profilo delle proporzioni, ci si imbatte subito in un primo bivio, evidenziato dall’opera stessa e dalla conoscenza che ne abbiamo. Ipotizzo due casi possibili, quindi.
Nel primo noi sappiamo quale è stato il principio geometrico che ha guidato l'opera. Comprenderlo, riprenderlo, ripercorrerne lo sviluppo, il suo complicarsi, il suo risolversi in forme ben determinate è senz'altro utile. E' il caso del prospetto della Villa Stein a Garches di Le Corbusier o della Casa del Fascio di Terragni, per esempio. La ricerca va poi ulteriormente raffinata, sempre in questo ambito, differenziando fra tracciati regolatori usati solo in alcune fasi (i singoli prospetti, magari, o solo alcuni di questi), e quelli usati per l’intera costruzione (il tempietto del Bramante a Roma).
Nel secondo caso noi non sappiamo con certezza attraverso quale schema e quale principio l'opera è stata compiuta, e proiettiamo su di essa delle interpretazioni geometriche che spesso sono fuorvianti perché frutto di nostre elucubrazioni e idiosincrasie. Poiché, come dice Wittkower, "Il compasso, nella mano del dotto, non si ribella" , non è difficile applicare a dei rilievi (con tutto il margine d'errore che essi contengono nella fase di riproduzione), i tracciati regolatori più impensabili . Si vedano (un esempio per tutti), gli impraticabili tracciati riportati da Krier, nella scia di Moessel, per l’impaginato delle chiese gotiche .
"Il povero, vecchio Partenone (è sempre Wittkower a parlare), è stato ricostruito in base alla sezione aurea, alla radice di cinque, alla radice di due, ai numeri semplici, ai moduli delle colonne, tenendo conto delle correzioni ottiche e non. E' stato vivisezionato, analizzato, smontato...”.
Occorre in questo caso una particolare serietà ed onestà intellettuale.

 
Fatte queste premesse metodologiche, oso affermare che lo studio delle proporzioni abbia ancora un senso per lo studente e l'architetto compositore. Le ragioni possono dividersi in due categorie principali: l’una di carattere un po’ più storico, ma propedeutica alla composizione,  l’altra, invece,  prettamente compositiva.
 L’acquisizione di una certa sensibilità alle proporzioni permette un primo approccio di grande qualità verso l’opera architettonica. In effetti, poiché moltissima dell'architettura antica è stata costruita con moduli calcolati geometricamente, sarebbe corretto e fertile leggere l’opera nella “lingua in cui è stata scritta”. Potremmo benissimo, nello studiare i più grandi  esempi di questa, fare a meno del metro . Non si parla qui di uno studio finalizzato ad un'opera di restauro “scientifico” dell'edificio, per il quale il metro è sicuramente utile, ma di uno studio rivolto a comprendere come l'opera si sia costituita, quale sia la sua morphé (nel senso greco del termine). Chi è pratico di rilievo architettonico non può nascondere, comunque, come anche nella  prima fase del rilievo (quella dell'eidotipo, per intenderci), la comprensione dei rapporti geometrici e sintattici delle varie parti di un edificio faciliti l'operazione tutta. Sia chiaro: nessuno dubita della comodità del metro come sistema di misura internazionale; ciò nonostante, nello studio dell'architettura (e dell'architetto), esso può essere fuorviante perché riduce l'opera architettonica a dati quantitativi (larghezza, lunghezza, altezza), offuscandone la comprensione più autentica.
Indifferente all’oggetto cui viene applicato, ignorando  se ciò che viene misurato sia un piedistallo o un capitello, una lunghezza o un'altezza, il metro perde (meglio: non ha affatto), la capacità di intuire il ruolo che ha la colonna rispetto all'altezza del vano, la larghezza di questo rispetto all'apertura della porta e così di seguito. L'applicazione pedante del sistema metrico distrugge tutto il sistema di rapporti gerarchici e semantici su cui spesso l'edificio si regge. Chi si mette a leggere (leggere nel senso di studiare) la Sagrestia Vecchia con il metro è fuori strada: probabilmente non comprenderà nulla della sua complessità e anzi, per paradosso, essa potrà sembrargli finanche banale .

La seconda ragione, dicevamo, è di ordine prettamente compositivo. Parlare di composizione e di proporzionamento apre tuttavia un panorama così ampio che è impensabile provarne qui una sintesi compiuta. Solo un accenno: qualche frase sull’argomento.
Accogliendo le tesi di Leoncilli Massi, le proporzioni trascendono il mero dato geometrico-costruttivo, diventando più “dense” di significato. La proporzione è "sprezzatura", dice ancora Leoncilli, indicando felicemente con un solo termine sia una condizione etico-intellettuale di assoluta rilevanza, sia il contesto storico (rinviando a Petrarca e poi a Castiglione e Raffaello) in cui tale condizione nasce e si sviluppa . La “sprezzatura” consente di realizzare le più grandi opere senza che appaia il minimo sforzo, senza alcuna eccentricità, ed è in questo simile alla "mediocritas" ciceroniana  e albertiana .
Le proporzioni sono come un'intelaiatura "intima", uno scheletro che guida e governa il progetto senza apparire. Esse sono una forma mentis: un tipo di intelligenza che permette di elaborare forme piuttosto che parole: sono il logos spermatikos.
Pensare per proporzioni consente poi di liberarsi definitivamente dalla tirannia del metro . Non solo, infatti, questa quarantaquattromilionesima parte della circonferenza terrestre "corrompe" in fase di lettura di un edificio, ma anche in quella di concezione, specialmente laddove essa si lega alle attuali normative per l'edilizia (altezza vani = 2,70 m., larghezza corridoio min. 1 m., ecc.).
Si è creata, nel tempo, e soprattutto nell’ambiente del professionismo meno colto, una sorta di “estetica normativa”.  Il "duetto"  tra metro e normativa è di sovente così forte che non si riesce nemmeno ad immaginare e che ci possa essere stato (e che ci possa essere), un altro modo di dimensionare gli spazi.  In questo senso le proporzioni liberano le capacità dell’architetto compositore, pur introducendo un altro vincolo, di tipo compositivo, appunto . I tracciati regolatori, la geometria, obbligano ad un ritorno alle origini, ad una riflessione dell’architettura sull’architettura, la quale vive costruendo all’interno di sé i suoi rapporti, le sue gerarchie, i suoi significati. Esse istituiscono un sistema di dimensionamento dove, fissate ad arbitrio alcune misure, le altre possono solo derivarsi da queste, e non prescinderne .

 

Le sei accezioni prodotte sopra non dividono ovviamente il tema delle proporzioni in compartimenti stagni. Direi piuttosto che sono una griglia di lettura “trasversale” rispetto all’opera architettonica.
Ma prima di abbandonare l’argomento ritengo sia ineludibile la domanda: perché si sono usate le proporzioni nella storia dell’architettura? Perché hanno avuto così ampia diffusione?
Credo che sia possibile individuare tre assi epistemologici principali attraverso i quali esaminare l’uso e la frequenza delle proporzioni nella storia dell’architettura.
A) Il primo è quello fondato su criteri “estetici” (mi si passi per ora il termine) e compositivi.
B) Il secondo asse è quello delle necessità costruttive.
C) Il terzo asse è quello della manualistica.

A) "Grazie ai numeri tutto diventa bello."
La citazione è di Pitagora, ma è lecito presumere che riassuma in sé tutta una cultura basata sul numero, sulla geometria, sulla matematica. Queste materie sono il fronte più avanzato di un’attività speculativa intensissima, che trova una sponda forse solo nell’elaborazione di dottrine politiche di altrettanto valore.
La produzione intellettuale di questi autentici “mostri” del pensiero è impressionante: penso per esempio a Pitagora, Euclide, Talete, Anassimandro, e ovviamente a Platone ed Aristotele.
Tento di sintetizzare brevissimamente.
Per i Greci il mondo è conoscibile perché è misurabile, matematizzabile.
In questa breve digressione devo ricordare Aristotele, non perché interessato alle proprietà mistiche dei numeri, anzi, ma per due concetti fondamentali nello sviluppo dell'estetica. Il primo è quello di ordine, che egli identifica con la più appropriata disposizione delle parti, e che più tardi verrà chiamato forma.
A questo concetto di ordine egli affiancò anche la moderazione, che fino ad allora era stato applicato alla morale, e non alla bellezza. E' l'essenza di quella che diverrà la mediocritas ciceroniana e poi albertiana.
L'altro concetto è quello di limitazione (horisménon). Soltanto oggetti di dimensioni limitate possono essere facilmente afferrate dallo sguardo e quindi procurare diletto. Nella Poetica egli usa addirittura un termine particolare, l'eusynopton, per indicare ciò che può essere facilmente afferrato dalla vista, ribadendo ancora una volta, se ce ne fosse stato bisogno, l'importanza dell'unità nell'opera d'arte.  Non ci può essere infine limitazione senza misurazione.
Si legga, in parallelo, questo passo dell’Alberti, nel De Re Aedificatoria:
“Se l’altezza delle pareti è esagerata, si faranno aderire ad esse delle cornici, o vi si dipingeranno delle linee divisorie, onde a determinati livelli tale altezza venga scompartita. Se invece una parte è troppo estesa in lunghezza, si erigeranno dalla sommità alla base delle colonne, non troppo vicine tra loro, bensì piuttosto distanti. In questo modo lo sguardo potrà fermarsi e riposarsi, quasi offrendoglisi dei luoghi di sosta ove posarsi ed essere così meno infastidito dalla vastità dell’ambiente.”
E’ ancora Aritotele ad insistere su questo concetto nella Metafisica: “Il rapporto, la misura delle grandezze spaziali è fondato sulla divisibilità delle grandezze stesse. Tale divisibilità fa sì che fissata un’unità di misura, ad ogni grandezza spaziale si possa far corrispondere un numero. Anzi si possa sostituire ad essa nella considerazione delle sue proporzioni, il numero e la misura.”
E’ in Grecia che trovano formulazione esatta i concetti  di eurtimia e di simmetria, ribaditi poi da Vitruvio (con qualche difficoltà), nel suo trattato. Sulla definizione di questi concetti voglio segnalare un contributo di rara profondità dato da Hans van der Laan , monaco benedettino, architetto, per ciò che concerne i concetti di simmetria ed euritmia presso i Greci e Vitruvio.
«Dobbiamo fare una chiara distinzione tra due modi di misurare, che i greci definivano con nomi diversi, 'euritmia' e 'simmetria', il cui significato ci è stato tramandato da Vitruvio. L'euritmia definisce sia le parti dell'edificio sia l'edificio nel suo insieme, rapportando l'altezza alla larghezza e la larghezza alla lunghezza. Dal canto suo, la simmetria riguarda i rapporti tra le parti e l'insieme, così come le parti stesse.
Nel caso dei triliti di Stonehenge, considerati come insiemi primari composti di parti, i due modi di comporre misure sono chiaramente distinguibili. Ciascuna delle tre pietre ha un'altezza una larghezza e una lunghezza le cui proporzioni reciproche determinano la forma della pietra. Inoltre, le altezze della pietra orizzontale e di quelle verticali sono proporzionali all'altezza totale del trilite, mentre la larghezza di ogni pietra verticale è proporzionata alla larghezza totale. Nel primo caso si ha l'euritmia, che è una corrispondenza formale, mentre nel secondo caso la simmetria, che è una corrispondenza dimensionale.
Perciò l'euritmia indica le proporzioni tra differenti misure d'una singola cosa e la simmetria proporzioni tra misure corrispondenti di cose differenti. Inoltre, il trilite (in quanto insieme) ha una propria euritmia e diviene a sua volta una parte della simmetria di un insieme più grande - la demarcazione della cella - che è, una volta di più una parte dell'intero monumento. La forma definitiva dell'insieme deriva così da una progressione di euritmie, alternate a simmetrie, che iniziamo con l'euritmia della parte più piccola  e forniscono con quella dell'insieme più grande.
Partendo da un blocco cubico, che avendo i lati di uguali dimensioni, è privo di euritmia, la forma giacente si sviluppa diminuendone l'altezza e simultaneamente aumentandone la lunghezza e la larghezza, mentre la forma in posizione verticale si trasforma in modo contrario. Per far sì che il volume resti invariato, l'altezza deve cambiare secondo due intervalli della scala di misure, rispetto alle due dimensioni orizzontali. La scala di misure permette di costruire cinque forme distinte, che derivano in successione da una lastra orizzontale a una in posizione verticale, con il blocco quadrato in posizione intermedia che esprime la posizione seduta. Quando tali forme vengono poste l'una vicino all'altra, si ha tra di esse un nuovo rapporto, una sorta di super euritmia, per la quale i greci usarono il termine thematismos: disposizione ordinata di forme differenti.» [Fig  ]
La simmetria è dunque una commisurazione numerica tra più parti e presuppone una modularità tra le parti, dove non vi siano resti inferiori all’unità. “Simmetrico è ciò che è misurato dalla stessa misura”, dice Aristotele. E dunque è possibile una distinzione tra linee e superfici. Platone parla infatti di “linee non simmetriche” per la loro lunghezza, ma “simmetriche” per quanto riguarda le superfici che possono formare.
Nel corso dei secoli queste teorie si sono ibridate anche con la religione, con la teologia, con la numerologia, con il misticismo, con l’esoterismo. Non dimentichiamo che nell’architettura “classica”, calcolare, costruire e comporre si fondevano in un unico atto, nel logos geometrico. Ricordiamo per esempio la figura della tetraktis, costituita da sei punti formanti un triangolo equilatero e la densità dei concetti che rappresenta: i primi numeri naturali, il triangolo equilatero, i rapporti tra i numeri semplici, ecc.
Le proporzioni sono il legante tra spazio, matematica, musica, cosmologia e probabilmente molto altro della cultura greca prima e latina poi .
Si pensi dunque allo choc che può aver creato lo scoprire che la diagonale del quadrato era incommensurabile con il suo lato. Si dice che un adepto della setta di Pitagora sia stato ucciso perché aveva divulgato il famosissimo teorema (il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla soma dei quadrati costruiti sui cateti).
Stesso problema posto dalla sezione aurea. Il punto è stato posto da Euclide in più parti dei suoi Elementi e ha due formulazioni distinte, riconducibili tuttavia ad un’unica domanda: come posso dividere un segmento in due parti in modo da avere lo stesso rapporto di similitudine tra la parte più grande e la parte intera, e tra la parte più piccola e la più grande, cioè Intero: Parte grande = Parte grande: Parte piccola.
Le teorie poste dai greci hanno esercitato il loro fascino fino ai nostri giorni, passando anche attraverso le rielaborazioni medievali, tese ad un misticismo estremo.
Anche nella modernità, infatti, queste teorie hanno costituito terreno su cui si sono confrontate grandi intelligenze. Ricordo a polemica, a mo’ di digressione, tra Le Corbusier e Gino Severini.
Severini merita un posto particolare nella lista dei personaggi che in questo secolo hanno studiato le proporzioni. Il primo dato che vorrei porre in rilievo è che il libro di Severini (Du Cubisme au Classicisme), pubblicato nel 1921, è precedente ai libri di Ghyka e, ancora più interessante, ai libri di Le Corbusier. 
L’altro punto da evidenziare è la grande attualità della sua polemica contro l’anarchia artistica dei primi anni del XX° secolo. Non solo perché il suo tempo è il nostro tempo, come dice Elena Pontiggia nello scritto (Pontiggia, 1997) che accompagna la nuova traduzione del testo di Severini, ma perché la sua reazione alle avanguardie ci indica quali possano essere alcuni punti fissi a cui far riferimento: Vitruvio, Alberti, Piero della Francesca, Dürer…
«All’inizio del XX° secolo, l’anarchia artistica è al suo culmine, malgrado gli sforzi molto lodevoli di alcuni.»   (Pacini, p. 53)
«Queste cause possono riassumersi in qualche parola: Gli artisti della nostra epoca non sanno servirsi del compasso, del goniometro e dei numeri. Dopo il Rinascimento italiano, le leggi costruttive sono gradualmente rientrate nell’oblìo. In Francia l’ultimo pittore che le ha ereditate e coscienziosamente applicate è Poussin.»
“La bellezza di una composizione dipende dunque dalla maniera con cui linee e angoli si contrastano e si rispondono; ma la difficoltà principale consiste nel ben distribuire i punti di riferimento, i centri di simmetria e i pesi, per dirigere l’occhio dello spettatore verso i punti salienti, gestendo dei riposi, delle pause o intervalli.” (ivi, p. 75)
Si confronti questo passo con quello dell’Alberti riportato sopra: non si potrà non convenire sulla grande cultura compositiva di Severini.
“Diciamo subito che in rapporto alla linea e alla forma, elementi costruttivi dello spirito, il colore è un elemento distruttivo e sensoriale. Questa è la ragione per cui tutti i grandi maestri l’hanno sempre subordinato alla forma, e si può enunciare questa regola generale: Il colore deve essere sempre dominato e contenuto dalla forma.” (ivi, p. 100)
Torna in mente un’altra volta l’Alberti con le sue raccomandazioni sul disegno e sui modelli da predisporre per lo studio e la presentazione dell’opera.
Mi permetto di rinviare tuttavia allo scambio epistolare tra Severini e Le Corbusier e tra Severini e De Fayet (critico d’arte),  non solo perché in qualche lettera ci sono assunti critici (e geometrici) di grande lucidità, ma perché palesano in modo evidente ciò che dice, ancora una volta, Elena Pontiggia in Classicità e pitagorismo in Gino Severini: “… Tuttavia giocava a sfavore di Severini proprio quell’intransigenza che faceva di lui il più tenace assertore dell’estetica del numero…”

 B) Il secondo asse è quello delle necessità costruttive. Si tende sempre a “sorvolare” infatti su quali fossero le “condizioni al contorno” nel momento in cui si costruivano il Partenone o la Cattedrale di Nôtre Dame. Ma se non si conoscono le tecniche costruttive medievali, si ignorerà di certo  perché il triangolo equilatero avesse una così ampia diffusione, per esempio . Elaborare poi teorie mistiche ed esoteriche a giustificazione della sua frequenza diventa quasi un esercizio accademico, se non una banalità. A maggior sostegno di questo fatto si consideri inoltre che geometria e calcolo (anche calcolo strutturale) erano la stessa cosa (o quasi) fino all’avvento di von Neumann . Le proporzioni possono infine svincolarsi dalle contingenti unità di misura locali, astrarsi dal piede romano o dal braccio fiorentino: le proporzioni come strumento di rilievo e di progettazione “internazionale”, diremmo oggi.

 C) Il terzo asse è quello della manualistica. Con ciò intendo dire che alcune regole di proporzionamento venivano pubblicate proprio per consentire agli architetti meno versati nella professione di poter produrre, con ragionevole certezza, delle opere comunque soddisfacenti. Le teorie estetiche, la “sprezzatura” di cui parla Leoncilli Massi, la grande cultura architettonica, trovano qui il loro risvolto prosaico.

 Non sempre è facile districare queste tre linee interpretative, nella stessa opera. Anzi, per le opere del passato, non credo che esista un’opera “pura”. Spesso, a ragioni eminentemente costruttive si è giustapposta una teoria teologica, e altrettanto spesso questa ha acquistato più forza della prima. Tracciati nati per ragioni eminentemente estetiche si sono rivelati ottimi tracciati “costruttori”, e così via.

 
Rapporto dimensione-figurazione.
Prima di terminare questo scritto, occorre tenere conto che le proporzioni, benché importantissime, necessitano in architettura di un altro concetto per dare vita a qualcosa di veramente reale e costruito: la scala, ovverosia le dimensioni . Essenziale è cioè il rapporto tra figurazione (nell’accezione leoncilliana del termine) e dimensione reale, operativa, rapporto affine a quello tra spazio geometrico e spazio architettonico indagato da Philippe Boudon, seppure da quest’ultimo risolto in termini forse più filosofici che architettonici  . Il rapporto in questo caso è tutto rivolto al momento poetico della creazione architettonica.
In questo rapporto tra dimensione e figurazione faccio rientrare, anche se a fatica,  il tema delle “temperaturae” vitruviane, delle “seste negli occhi” di Michelangelo: le correzioni ottiche che è possibile apportare all’opera. Il tema non è secondario, ed  ha opposto nel tempo due categorie di persone: da una parte i “puristi” delle proporzioni e dall’altra i “sensibilisti” . In questo rapporto invece il punto è sull’ambito percettivo.
Il tema è stato sempre presente, anche nell’antico Egitto, ma è soprattutto con la Grecia
che diventa evidente. La questione delle rastremazioni delle colonne, gli “scamilli impares”, non sono altro che il tentativo di apportare quelle necessarie modifiche dimensionali (reali), per fare in modo che la percezione sia di un oggetto ben proporzionato.
 “Con le dimensioni tutto cambia”, dice Valéry nell’Eupalino. L’architetto vero non può limitarsi e rinchiudersi in un mondo puro, fatto solo di rapporti e proporzioni. L’architetto vero deve, alla fine, fare i conti con le dimensioni, con la misura.
Vi è infatti un ulteriore risvolto tutto costruttivo, strutturale, sul quale si dilunga egregiamente Salvatore Di Pasquale, a cui rimando per gli approfondimenti. In estrema sintesi, anche qui, si intende dire che un conto è un’opera tettonica pensata per delle dimensioni e un altro conto è la stessa opera in un dominio di dimensioni completamente diverse. Un  ponte dimensionato per una luce di 40 m. non mantiene le stesse proporzioni (tra le parti), per una luce di 400 m.
Ecco allora che la composizione architettonica, nell’”organizzare l’ineguale”, è obbligata (e nobilitata) dal dover tener conto del mondo reale, dell’aria che consuma lo spazio, e della gravità, che vorrebbe tutto per terra.

 

 

 

 

BIBLIOGRAFIA RAGIONATA

Ackerman,  J.S., Palladio, Einaudi, Torino 1972
Libro di agevole lettura, divenuto nel tempo un piccolo "classico" su Palladio, contiene anche un regesto delle opere. Qui va ricordato per la sezione che riguarda i principii architettonici.

Alberti, L.B., Opere volgari, a c. di Cecil Grayson, Laterza, Bari 1960
Qui interessa soprattutto per il De Pictura  e il De Rerum Mathematicarum.
- , De Re Aedificatoria,

Argan, G.C., Studi e note dal Bramante al Canova, Bulzoni, Roma stampa 1970
Il libro contiene due saggi importanti per l’argomento del presente lavoro.
Uno di questi è sul Bramante, pubblicato nel 1934, nel quale è messo in luce il suo apporto al rinascimento romano e le differenze tra Bramante e il classicismo.  Il testo esplicita tra l'altro il ruolo della geometria nella concezione dello spazio.
Altro saggio di grande chiarezza è quello sul Palladio visto prima attraverso le parole del Milizia, il quale  ne critica le "bizzarie", e poi attraverso quelle di Goethe, che ne intuisce la genialità. Il testo è utile per comprender come, a fianco di composizioni planimetriche rigorose, Palladio si permetta delle licenze del tutto anticlassiche negli alzati.
-, La cupola di Brunelleschi, in «Nuova Antologia», n. 9-10-11-12, 1977, pp. 17-24
Testo in cui si mette in evidenza come la Cupola sia da leggersi come costruzione prospettica, come spazio messo in prospettiva, e di come la lanterna abbia un rapporto ben preciso con la costruzione sottostante.

Arias, P.E., Policleto, Edizioni per il Club del Libro, Milano, 1964
Contiene saggi di diversi autori distribuiti nel tempo da Winckelman a Panofsky. Quello di Panofsky è illuminante, poiché non solo mette in luce la diversità tra la concezione greca ed egizia delle proporzioni, ma perché permette di comprendere che ruolo ha questa concezione nell'architettura greca e ancora in Vitruvio.

Bacci, O. - Bracco, P. - Mazzoni, P., La «Maestà» di Giotto agli Uffizi, in «Critica d'arte», n. 154-156, 1977, pp. 209-210
Brevissimo saggio dove viene proposto il proporzionamento dell'opera giottesca secondo uno schema di 5 a 8. Il modulo quadrato ha come diagonale un braccio fiorentino.

Bairati, C., La simmetria dinamica. Scienza ed arte nell'architettura classica, Politecnica Tamburini, Milano 1952
Testo che ha introdotto in Italia i concetti della simmetria dinamica di Hambidge e a cui si rifanno molti studiosi delle proporzioni.
 
 Battisti, E., Filippo Brunelleschi, Electa, Milano
-     , Bramante, creatore dello spazio moderno, in «Il Veltro», n. 1-2, 1975, pp. 35-40
Viene messo in luce il rapporto tra spazio reale e spazio architettonico alla fine del Quattrocento, attraverso tre episodi: la Cappella del Perdono a Urbino, S. Maria presso S. Satiro a Milano e il Tempietto di S. Pietro a Roma. Il ruolo della prospettiva come strumento illusionistico, quindi.
- ad vocem La proporzione in architettura, in Enciclopedia Universale dell'Arte, XI, Firenze, Sansoni 1963
Si tratta di una voce all'interno di un'enciclopedia. Ha quindi il pregio  e il difetto di essere sintetica.
- , Un tentativo di analisi strutturale del Palladio tramite le teorie musicali del Cinquecento e l’impiego di figure rettoriche, in «Bollettino C.I.S.A.», n. XV, Vicenza 1973
Saggio che riporto soprattutto per la seconda parte, dedicata alle figure rettoriche, molto stimolante, anche se di difficile verifica.

Bechmann, R., Le radici delle cattedrali. L’architettura gotica espressione delle condizioni dell’ambiente, traduzione di Giangiacomo Amoretti, Mondadori, Milano 1984
E’ un testo che guarda all’architettura gotica inquadrandola in un’analisi di ampio respiro. I capitoli dedicati ai problemi tecnici e alle soluzioni date dai costruttori sono illuminanti e fanno “piazza pulita” anche di alcune teorie mistiche ed esoteriche sulle proporzioni.

Beltrame, R. Sul proporzionamento nelle architetture brunelleschiane, in «L'arte», n° 18-19/20, 1972
Riporto qui l'indicazione di quest'articolo per chi vuole rendersi conto di come sia facile ritrovare, a posteriori, dei tracciati regolatori applicati all'architettura. Beltrame indica formule ricorsive (senza la spiegazione dei termini), senza un probabile collegamento con l'architettura, per attribuire al Brunelleschi dei calcoli stringati, salvo poi fargli carico di approssimazioni nell’ordine di 30 cm.

Bettini, S., Lo spazio architettonico da Roma a Bisanzio, Dedalo, Bari 1978
Intensissimo libro di poche pagine per comprendere come lo spazio, come soggetto architettonico, nasca a Roma.

Blunt, A., Le teorie artistiche in Italia dal Rinascimento al Manierismo, Einaudi, Torino 1966

Bodei, R., Le forme del bello, Bologna, Il Mulino 1995
E' un libro che segue  lo sviluppo del concetto di bellezza da Pitagora fino ai giorni nostri, e quindi dall'armonia alla dissonanza, al caos. Ha il pregio di essere di agevole lettura e di avere una buona bibliografia.

Bolla, N., Armonie proporzionali, Venezia, IAUV, Dipartimento di Teoria e Tecnica della Progettazione edilizia 1982
E' uno scritto di poche cartelle, piuttosto colto, dove viene trattato il tema delle armonie proporzionali quasi ad un livello epistemologico.

Borsi, F., Bramante, Electa, Milano 1989

Borsi, F., Per una storia della teoria delle proporzioni, Quaderni della Cattedra di Disegno della Facoltà di Architettura, Firenze, [1966]
Lo ricordo per un buona riflessione sull’armonia greca e egiziana e per una ricca bibliografia, anche se ormai datata.

Boudon, P., (sous la direction de), De l'architecture à l'épistémologie, PUF, Paris 1991
Costituito da contributi diversi, lo ricordo in questa sede per il saggio del curatore, che pone la questione della scala a fianco a quella delle proporzioni e delle dimensioni.

Bramante tra Umanesimo e Manierismo: mostra storico-critica, Roma, Istituto grafico Tiberino, stampa 1970
Libro pubblicato in occasione della mostra tentuta a Roma a cura del Comitato Nazionale per le Celebrazioni Bramantesche. Contiene, oltre ad una lucida introduzione di R. Bonelli, dei saggi critici che vertono sullo spazio del Bramante, sulla sua concezione strutturale e sulla differenza con la scuola fiorentina. E' interessante ricordarlo qui però per i passi che riguardano il Tempietto di S. Pietro in Montorio a Roma.

Bruschi, A., Bramante architetto, Laterza, Bari 1969
E' uno dei libri più completi sul Bramante: vi si ritrovano sia la correttezza filologica che la precisione dei riferimenti architettonici. E' inoltre corredato da numerose illustrazioni.
-, Borromini: manierismo spaziale oltre il Barocco, Dedalo, Bari 1978
Breve ma intenso saggio del Bruschi che, nel 1967, dà una lettura del Borromini ancora attualissima. In particolare viene evidenziato come Borromini non abbandoni né la geometria né la prospettiva, ma come queste si applichino con un nuovo furor mathematicus.

Castellani, E., Simmetria e natura. Dalle armonie delle figure alle invarianze delle leggi, presentazione di Giulio Giorello, Gius. Laterza & Figli, Roma-Bari 2000
Libro molto interessante sulla simmetria esaminata nel suo sviluppo storico. Lo segnalo qui soprattutto per la parte di analisi del concetto della simmetria “antica”, come l’autrice definisce la concezione essenzialmente figurativa e metrica risalente ai greci.

Choay, F., La regola e il modello, Officina, Roma 1986
Libro molto interessante che apre nuovi orizzonti sul trattato albertiano De Re Aedificatoria. Viene infatti tracciata una netta differenza, formale e sostanziale, con gli altri trattati e in particolar modo con quello vitruviano. Contiene inoltre un esame dei trattati utopistici, a partire dalla Utopia di Tommaso Moro.

De Angelis d'Ossat, G., Enunciati euclidei e «Divina Proporzione»  nel l'architettura del primo Rinascimento, in Il mondo antico nel Rinascimento. Atti del V° convegno internazionale di studi sul Rinascimento, Istituto Nazionale di Studi sul Rinascimento, Firenze, Sansoni 1958
Saggio di grande cultura storica e filologica, dove tuttavia i riscontri di alcune proporzioni vengono solo annunciate o esemplificate su foto e disegni in maniera sommaria. Il famoso "rectarlo in proportione" della lettera dell'Alberti al Gonzaga viene "piegato" alla sola proporzione aurea.

Di Pasquale, S., L'arte del costruire. Tra conoscenza e scienza, Marsilio, Venezia 1996
Libro che ripercorre la scienza delle costruzioni attraverso il paradigma dei modelli meccanici prima e matematici poi. E' un testo ricco di riferimenti storici, interessantissimo per chi vuole osservare le costruzioni da un punto diverso rispetto a quello strettamente scolastico. Infine, coinvolgendo e facendo di Galilei uno dei personaggi maggiori del testo, è un punto obbligato per chi si interessa al binomio proporzione-scala.
- , Tracce di statica archimedea in L.B. Alberti, in «Palladio», n. 9, 1992
Bellissimo saggio dove il tema dell’equilibrio è trattato con notevole profondità e allo stesso tempo con una levità di scrittura da far invidia a molti letterati. Non mancano alcune puntualizzazioni quasi anedottiche che rendono ancor più piacevole la lettura. Ne esce un Alberti molto pragmatico ed estremamente “razionale”, capace di astrazioni veramente notevoli, sulla scia (inconsapevole?) di Archimede.

Durand,  J.N.L.,  Lezioni di architettura; a c. di E D'Alfonso, CLUP, Milano 1986
Manuale pubblicato nel 1819, è di una razionalità implacabile e impietosa. Qui interessa soprattutto per come affronta la questione degli ordini architettonici.

Fagiolo, M., Le facciate palladiane: la progettazione come proiezione sul piano di spazi dietro spazi, in «Bollettino C.I.S.A.» n. XX, Vicenza, 1978
Testo illuminante sul disegno palladiano, visto come successione di piani proiettivi.

Ferri, S., Figure «quadrate» nel Rinascimento, in Il mondo antico nel Rinascimento. Atti del V° convegno internazionale di studi sul Rinascimento, Istituto Nazionale di Studi sul Rinascimento, Firenze, Sansoni 1958
Saggio brevissimo ma di grande chiarezza sulla "quadratura" rinascimentale.

Fichet, F., La théorie architecturale à l'age classique. Essai d'anthologie critique, Mardaga, Bruxelles 1979
E' un'antologia che riguarda vari autori francesi, letterati, pittori e architetti compresi tra il XVI° e il XVIV° secolo.  Per ogni autore trattato è compilata una scheda sintetica della vita e del pensiero. E' preceduta da una notevole introduzione, di rara lucidità, sullo sviluppo della figura di architetto da costruttore a genio e sulla progressiva perdità d'intensità simbolica del concetto di spazio.

Fiedler, K., L'attività artistica. Tre saggi di estetica e teoria della "pura visibilità", tradotti da Carlo Sgorlon, prefazione di Carlo L. Ragghianti, Neri Pozza, Venezia 1963

Fiore, F.P. e Tafuri, M., Francesco di Giorgio architetto, Electa, Milano 1993

Focillon, H., La vita delle forme, Einaudi

Galli Bibiena, F., Direzioni ai giovani studenti nel disegno dell'architettura civile,  Arnaldo Forni, Sala Bolognese [s.d.], rist. anas. Lelio Dalla Volpe, 1731,
Delizioso libriccino (di piccolo formato) dove vengono illustrate costruzioni geometriche di poligoni e solidi, nonché alcune operazioni per calcolare aree e lunghezze.

Ghyka, M., Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts, Rocher, Paris 1987
-, Le Nombre d'Or. Rites et rythmes pythagoriciens  dans le developpemente de la civilastion occidentale, preceduto da una lettera di Paul Valéry, Gallimard, Paris 1959
-, Philosophie et mystique du nombre, Payot, Paris 1971
Libri che presuppongono una discreta conoscenza matematica, per essere compresi appieno. L’autore è comunque una pietra miliare in questo genere si studi. Qui interessa soprattutto per i primi capitoli, dedicati a Platone e Pitagora e ai numeri gnomonici.

Gimpel, J., I costruttori delle cattedrali,

Giuseppe Terragni, Triennale di Milano, Centro Studi G. Terragni, con la collaborazione del Centro Internazionale di Studi Andrea Palladio, Ente Autonomo La Triennale di Milano e Electa, Milano 1996
E' il catalogo della mostra tenuta a Milano nel 1996. Contiene numerosi saggi, la maggior parte dei quali verte ancora sull'adesione più o meno forte di Terragni al fascismo.

Guillaume, J., Désaccord parfait. Ordres et mesures dans la chapelle des Pazzi, in «Annali di architettura», n. 2, 1990, pp. 9-23
Saggio che analizza senza pietà (dal punto di vista proporzionale), la Cappella Pazzi. Dal 1867 al 1977 si sono avute più di 17 letture “musicali” e “armoniche” della cappella, alcune delle quali incompatibili tra loro. Basate sul rilievo di Stegmann e Geymüller, al quale si riconosce un errore di 45 cm.

Hildebrand, A. von, Il problema della forma,

Heitz, C., Mathématique et architecture. proportions, Dimensions systématiques et symboliques dansa l'architecture religieuse du Haut Moyen Age, in Musica e arte figurativa nei secoli X- XII, Centro di Studi sulla spiritualità medievale, Todi 1973
E' un saggio che, dopo aver distinto nettamente tra modulo e proporzionamento, esemplifica su edifici dell'Alto Medioevo proporzioni basate sui più diversi numeri. Si va quindi dai rapporti semplici al numero d'oro, passando per il sei, il sette, il dodici, il ventotto, a tutti quei numeri, cioè, caricati di un valore simbolico nella religione cristiana.

Jammer, M., Storia del concetto di spazio, con una premessa di Albert Einstein, Feltrinelli, Milano 1966
Testo che forse esula da un discorso sullo spazio architettonico, ma che rimane a tutt’oggi il libro più profondo sull’argomento, e che permette di ricostruire molto delle culture che hanno prodotto spazi e definizioni di spazi.

Kandinsky, W., Punto, linea, superficie. Contributo all’analisi degli elementi pittorici, Adelphi, Milano 1968

Kaufmann, E., L'architettura dell'Illuminismo,
- , Tre architetti rivoluzionari, Franco Angeli,

Krier, R., Architectural Composition, Academy, London 1988
Segnalo questo testo "per completezza", visto che un sostanzioso capitolo del libro è dedicato alle proporzioni. Oltre a riprendere la tesi di Moessel sulla segmentazione polare del cerchio, Krier si spinge fino a suffragare la tesi che la lunghezza delle ossa dei diti e di altre parti del corpo siano in proporzione aurea.

Laan, H. van der, Strumenti di ordine, in «Casabella» n. 634, 1996
Saggio che riassume i concetti di questo architetto-monaco, che oltre ad ampliare l'accezione di termini quali simmetria ed euritmia, illustra come ancora le proporzioni possano esistere, come forma mentis, nell'architettura contemporanea.
- , L’espace architectonique. Quinze leçons sur la disposition de la demeure humaine, E. J. Brill, Leiden 1989

Le Corbusier, Il Modulor. Saggio su una misura armonica su scala umana universamente applicabile all'architettura e alla meccanica, tr. it. Gabriele Mazzotta, Milano 1974
Testo “obbligatorio” per chi vuole occuparsi di proporzioni nel moderno. E' un libro composto da due volumi, di cui il secondo è relativamente interessante, poiché riservato all'applicazione del Modulor nell'industria mondiale. Il primo contiene invece alcune riflessioni teoriche sulla proporzione ed offre involontariamente uno spaccato del mondo architettonico degli anni '30-40.
- , Precisazioni sullo stato attuale dell’architettura e dell’urbanistica, Laterza, Roma-Bari 1979
Contiene un paragrafo sulle proporzioni.
- , Verso un’architettura, Longanesi & C., Milano 1984
Presenta un capitolo sui tracciati regolatori.

 

Leoncilli Massi, G. C., La composizione. Commentari, Marsilio, Venezia 1985
E' un testo dove viene proposto l'argomento della composizione architettonica, in tempi non sospetti, con  l'intensità di scrittura che il tema esige. Oltre a segnare la sua diversità etica attraverso la presentazione del tema del "Sublimatoio", il libro interessa soprattutto qui per le bellissime "letture compositive" degli edifici di Otto Wagner.
- , L’Etrusco torna a scrivere, Alinea, Firenze 1997

Luporini, E., Brunelleschi. Forma e Ragione, Edizioni di Comunità, Milano, 1964
Sono analizzate essenzialmente le chiese di S. Spirito e S. Lorenzo, e soprattutto alla prima è dedicata un'ampia parte alla spiegazione in base a moduli geometrici.

Marcolli, A. Teoria del campo. Corso di educazione alla visione, Sansoni, Firenze 1984
Testo piuttosto "denso", dal quale molti hanno avuto un notevole aiuto nei loro studi. Contiene preziose distinzioni tra le simmetrie possibili e sui numeri come gnomoni, oltre a elementi di topologia e di teoria dei colori.

Milizia, F., Principi di architettura civile di Francesco Milizia, rip. anas. della 2a ed., 1847, Gabriele Mazzotta, Milano 1972
Libro che spazia dalla teoria alla pratica, com'era uso nel periodo. Qui interessa per la parte dedicata alle proporzioni e alla definizione di alcuni concetti chiave, come euritmia e simmetria. Come d'abitudine, è corredato di tavole esplicative, alcune delle quali molto belle.

Millon, H. e Magnago Lampugnani, V., (a cura di),  Rinascimento. Da Brunelleschi a Michelangelo. La rappresentazione dell’architettura, Bompiani, Milano 1994
Ponderoso catalogo della mostra tenuta a Venezia. Contiene numerosi saggi di vari autori e delle schede che approfondiscono argomenti particolari.

Moretti, L., Trasfigurazioni di strutture murarie, in «Spazio», n. 4, 1951, pp. 5-14
- , Valori della modanatura, «Spazio», n. 6, 1951-52, pp. 5-12, 112
- , Strutture e sequenze di spazi, «Spazio», n. 7, 1952-53, pp. 9-20, 107
I saggi che qui si portano all’attenzione del lettore sono profondissimi e pregni di una cultura visiva oramai persa. Poche pagine per capire da dove nascano le strutture ideali del rinascimento, per capire il senso delle modanature, per apprezzare le successioni degli spazi palladiani.

Morolli, G., L'architettura di Vitruvio. Una guida illustrata, I, Alinea,Firenze 1988
- (a cura di), L'architettura di Vitruvio nella versione di Carlo Amati, II Alinea, Firenze 1988
La "guida" di Morolli si riferisce proprio alla riproduzione del libro dell'Amati. Il nostro interesse è concentrato proprio su questa, che si delinea come un utilissimo strumento per accedere a Vitruvio. Essa infatti tocca alcuni punti critici del testo vitruviano, come quello della simmetria, degli "scamilli impares" e dell'antropomorfismo.
 
Nicco Fasola, G., Prospettiva, in « Emporium», n° 6, 1942
Saggio certo datato, ma di grande interesse nel precisare che la prospettiva lineare matematica non è una scoperta, ma un'invenzione del nostro Umanesimo. Inoltre viene affrontato il tema della realtività storica della prospettiva nei riguardi dell'arte contemporanea.
-    , Svolgimento del pensiero prospettico nei trattati da Euclide a Piero della Francesca, in « Emporium», , dicembre 1942, fasc. II
In questo saggio viene ripercorsa la prospettiva, nelle sue varie forme, da Euclide a Piero, passando per Alhazen, Bacone, Witelo, Peckam, Ghiberti. Soprattutto viene evidenziata la diversa concezione dello spazio necessaria all'Umanesimo per poter teorizzare la prospettiva come costruzione.

Pacini, P. (a cura di), Gino Severini. Dal cubismo al classicismo e altri saggi sulla divina proporzione e sul numero d’oro, Marchi & Bertolli, Firenze 1972
Viene qui riproposto, in francese, il saggio  Du cubisme au Classicisme che Severini pubblicò presso Povolozky a Parigi nel 1921. Tralascio qui di indagare il ruolo che il saggio ha avuto negli anni Venti per limitarmi alle nozioni matematiche e geometriche esemplificate con grande chiarezza e competenza. Il testo è corredato di alcune lettere molto interessanti tra Severini e Le Corbusier.

Pacioli, L., De Divina Proportione, con un'introduzione di Augusto Marinoni, rip. anas. Associazione tra le Casse di Risparmio Italiane, Roma e Silvana Editoriale, Milano 1982
Riporto questo testo non solo per la bellezza dei solidi disegnati da Leonardo, ma anche per la chiara introduzione di Marinoni, che accompagna alla lettura del trattato e inquadra i rapporti tra Pacioli e Leonardo.

Palladio, A., I quattro libri dell'architettura,

Pane, R., Palladio,

Panofsky, E., La prospettiva come "forma simbolica" e altri scritti, Feltrinelli, Milano 1993
In questo testo l'autore esplicita la sua idea sulla prospettiva intesa come momento stilistico e non come semplice tecnica di rappresentazione. Panosfsky prende in esame anche la prospettiva nel suo sviluppo storico, da Vitruvio fino a Desargues. Da leggere per collegare il problema delle deformazioni ottiche con quello delle proporzioni oggettive.
- , Idea. Contributo alla storia dell’estetica, La Nuova Italia, Scandicci 1952
Famosissimo e interessantissimo testo di Panosky, conosciuto soprattutto per le amplissime e dottissime note.

Panza, P., Leon Battista Alberti. Filosofia e teoria dell'arte, Guerini Studio, Milano 1994
Testo che riprende ed integra la tesi in estetica dell'autore, permettendo una osservazione a 360 gradi dell'Alberti. Consente inoltre di comprendere quale sia il nesso tra le speculazioni filosofiche e l'utilità pratica che da esse derivano. Così è anche per il capitolo che concerne più propriamente i numeri e la geometria.
- (a cura di), Estetica dell’architettura, Guerini e Associati, Milano 1996
E’ una raccolta antologica di filosofi sull’estetica in architettura, utile per chi è completamente “digiuno” e intende affrontare l’argomento.

Pareyson, L., Estetica. Teoria della formatività, con una postfazione di Maurizio Ferraris, Bompiani, Milano 1996

Piero della Francesca, De prospectiva Pingendi, Ed. critica a cura di G. Nicco Fasola, Le Lettere, Firenze 1984
Interessantissimo testo critico della Nicco Fasola, introdotto a sua volta da Battisti. Piero della Francesca e il suo trattato vengono collocati nella giusta dimensione storico-filologica, e vengono altresì fatte alcune precisazioni notevoli sulle prospettive e sugli ideali del Quattrocento fiorentino.

Pontiggia, E. (a cura di), Gino Severini. Dal cubismo al classicismo. Estetica del compasso e del numero, SE, Milano 1997
Niente da aggiungere per quanto riguarda il testo severiniano già indagato da Pacini. Il saggio della Pontiggia inquadra splendidamente Severini nella Parigi degli anni Venti.

Pratelli, A., Il disegno di architettura. Tre chiese del bolognese, CHARTA, Milano 1995
E' un libro composto da un professore di disegno che insegna alla Facoltà di Ingegneria di Bologna. Inizia con un bellissima dissertazione sulla storia della geometria e sul disegno "denso" dei nostri predecessori per finire però con delle esemplificazioni grafiche (le tre chiese) che non sono affatto all'altezza delle aspettative.

Puppi, L., Andrea Palladio, Electa, Milano 1973

Quaroni, G. E. (a cura di), Ludovico Quaroni. Progettare un edificio. Otto lezioni di architettura, Gangemi, stampa 1993
Scitto da Ludovico Quaroni per gli studenti, è un testo assolutamente da leggere. Una delle otto lezioni è dedicata alle proporzioni e alla geometria ed è ulteriormente approfondita in quattro schede con delle note bibliografiche adeguate a chi vuol andare oltre.

Quatremère de Quincy, A.C., Dizionario  storico di architettura. Le voci teoriche; a c. di Valeria Farinati e Georges Teyssot, Marsilio, Venezia 1992
Utilissimo testo per chi vuole rendersi conto di come alcuni concetti chiave dell'architettura, come proporzione, simmetria, euritmia, fossero già cambiati all'epoca rispetto alla formulazione vitruviana.

Riegl, A., Arte tardoromana, Einaudi, Torino 1959
E' anche questo un classico degli studi di architettura. Nella parte dedicata all'architettura, egli traccia con lucidità le differenze fondamentali tra quella egizia, quella greca e quella romana e tra le corrispondenti "distanze" da cui esse andrebbero valutate. Esemplifica inoltre  queste differenze nelle altre forme d'arte figurativa.

Roisecco, G., Storia del concetto di spazio, Bulzoni, Roma
Libro tutto teso ad avvalorare la tesi dello spazio come continuum spazio-temporale. La storia dell’architettura come evoluzione dello spazio da statico a dinamico, come accettazione dell’elemento tempo nella percezione dell’opera.

Rossi, P.A., Soluzioni brunelleschiane. Prospettiva: invenzione e uso, in «Critica d'arte», n° 175-177, 1981
In questo saggio vengono presentate delle letture proporzionali sulle seguenti opere del Brunelleschi: Palazzo Pitti (con la sezione aurea) e la Rotonda degli Angeli. Inoltre viene spiegato persuasivamente il significato della distanza nelle costruzioni prospettiche del Brunelleschi.

Rykwert, J. - Engel, A. (a cura di), Leon Battista Alberti, Electa, Milano 1994
E' il catalogo della mostra tenuta a Mantova nel 1994 sull'Alberti. Volume sostanzioso che spazia dalla scrittura alla numismatica. Contiene dei saggi molto interessanti sulla geometria albertiana ed è ovviamente una ricchissima fonte bibliografica.

Salerno, L., Proporzione, in Enciclopedia Universale dell'Arte, XI, Sansoni, Firenze 1963
Il contesto a cui si applica il concetto di proporzione è veramente ampio. Qui se ne fa un'esatta e stringata sintesi.

Scamozzi, V., L'Idea dell'Architettura Universale,

Sanpaolesi, P., Brunelleschi, Edizioni per il Club del Libro, Milano 1962

Scott, G., L'Architettura dell'Umanesimo, Bari, Dedalo 1978

Schumacher, T.L., Il Danteum di Terragni, Roma 1980

Silva, R., Pitagorismo e metriche architettoniche nella tarda antichità, in «Critica d’arte», 1974, pp. 6-17
Interessante saggio sul pitagorismo e sul neo pitagorismo.

Snijders, C.J., La sezione aurea, Muzzio, Padova 1993

Summerson, J., Il linguaggio classico dell'architettura, Einaudi, Torino 1970
Libro di piccolo formato e di agevole lettura, permette di avvicinarsi agli ordini architettonici senza necessariamente essere esperti in collarini e scozie.

Tatarkiewicz, W., Storia dell'estetica, 3 vol., tr. it. Giulio Einaudi, Torino 1979
I tre volumi del Tatarkiewicz sono un utile strumento per chi si avvicina alla storia dell'estetica e ha bisogno di una messa a fuoco dei temi portanti della materia.
- , Storia di sei Idee,

Tessenow, H., Osservazioni elementari sul costruire, a cura di Giorgio Grassi, Franco Angeli, Milano 1995
Contiene alcune osservazioni (appunto) sulla Baukunst e in questa sede importa per le riflessioni sulla simmetria.

Ungers, O. M.,

Valéry, P., Eupalino o l'architetto, Biblioteca dell'Immagine, Pordenone 1988
E' un dialogo che Valéry, poeta e matematico, ipotizza tra Socrate e Fedro. Tra le letture possibili, emerge la razionalità tutta greca dei numeri, delle forme, delle proporzioni.
-, Il cimitero marino, traduzione di Patrizia Valduga; con un saggio di Elio Franzini, Arnoldo Monadori, Milano 1995
Non propongo qui questo testo non tanto per la poesia che lo intitola, ma per il commento di Valéry sulla sua opera  (Sul Cimitero marino), dove si parla ancora di composizione, di ordine e di poesia.
-, Scritti sull'arte, Guanda, Parma 1984
Come si intuisce dal titolo è una raccolta di scritti sul soggetto "arte". Si va dalla danza al disegno passando per la musica. Oltre alla bellissima scrittura di Valéry, il testo interessa qui perché impreziosito di riferimenti alla composizione davvero profondi, pur se brevi.

Villard de Honnecourt, Disegni dal manoscritto conservato alla Biblioteca Nazionale di Parigi, presentato e commentato da Alain Erlande-Brandenburg, Jaca Book, Milano 1988

Wittkower, R., Idea e immagine. Studi sul Rinascimento italiano, tr. it. Giulio Einaudi, Torino 1992
Contiene, rivisto ed ampliato, il famoso saggio The changing concept of proportion  pubblicato con il titolo di Il mutevole concetto di proporzione, che verte sulle manie proporzionali "a posteriori" di critici e storici.
-    , Principii architettonici nell'età dell'Umanesimo,  Einaudi, Torino 1994
E' un testo fondamentale per comprendere l'architettura rinascimentale e la critica storica sulla stessa. Chiarisce vari argomenti: l'edificio a pianta centrale, l'Aberti, il Palladio, la teoria musicale, ecc. con un linguaggio di grande chiarezza e precisione.

Siti Internet

 

 

 

Intanto allego la bibliografia funzionale all'argomento principale del modulo: le proporzioni.

Mano mano, poi, riempirò questo spazio con altre notizie utili (spero). Lascio aperta la porta dei commenti, così questo sito può essere un canale di comunicazione tra me e voi.

Buon lavoro.

Arch. Bruno Mario Broccolo